《The Mathematics of Poker》中文翻译独立事件一些事件不是互斥（互斥可以理解为不可能同时发生）的。举个例子，如下两个事件：1.一张牌的花色是红心；2.一张牌的大小是A；如果我们想找出一张牌或者是红心或者是一张A的概率，我们可以先得到一张牌的花色是红心的概率是1/4（一整套52张牌中有13张红心，13/52=1/4）。而在之前我们已经探讨过一张牌是A的概率是1/13。然而，我们
《The Mathematics of Poker》中文翻译我们也可以考虑事件A给予事件B的条件概率，也就是在事件A发生的条件下，事件B也同时发生的概率。两个相关事件A与B同时发生的概率是事件A发生的概率乘以B给予A的条件概率。如果事件A与事件B是独立的，那么A给予B的条件概率就等于事件A发生的概率。接下来我们用具体的等式描述以上概念：事件A与事件B至少发生一个的概率；事件A与事件B同时发生的概率
《The Mathematics of Poker》中文翻译关于概率还有一些简单的性质。首先，任何事件发生的概率都是大于等于0并且小于等于1的。回溯到概率的定义，n次试验中事件发生的次数不会大于n，也不会小于0。一件必然会发生的事件的概率是1，一件永远不会发生的事件的概率是0。概率的补集指的是这个事件没有发生的概率，其计算就是用1减去事件发生的概率。下面我们用等式来表达以上概念：事件A未发生的概率
《The Mathematics of Poker》中文翻译概率分布尽管单个事件的概率是很重要的，但经常会碰到一些不能用单个事件全面分析某个局面的状况。相反，同时分析多个事件发生的概率往往是更重要的。我们定义一个事件可能的结果与概率为一个事件的概率分布。考虑一枚普通的硬币。掷硬币会有正、反两个结果，每种结果各有一半的可能性发生。我们可以就此列出一个掷硬币结果的概率分布。有两种组合(正，1/2)、(
《The Mathematics of Poker》中文翻译当一个概率分布的每一个可能出现的结果都对应一个数值型的收益时，我们可以求出这个概率分布的期望收益（EV），也就是将每一个收益分别乘以它们出现的概率，并将其加总。在这本书中，我们用<X>表示X的EV。举个例子：<B>=(1/2)*(+$10)+(1/2)*(-$10)=$5+(-$5)=0；于是这里有一些比较显然的性
《The Mathematics of Poker》中文翻译一个关于EV的非常重要的性质是其可加性。也就说，连续几个赌局的总EV就是这几个赌局独立EV的加总。大多数的赌博游戏，或者说人生中的大部分事情都满足这个性质。我们的人生中其实就是由无数个类似抛硬币或者掷骰子的事件组成的，有的是正EV的，有的是负EV的，只不过现实中是一些类似政治选票或基金投资之类的事情。在扑克中，一位优秀的牌手在每一局中如果
《The Mathematics of Poker》中文翻译第二章预测未来：方差与样本结果具有与元素相关联的值的概率分布有两个特点，这两个特点描述了重复实验下的大多数分布状况。其中之一在上一章已经提到过，就是期望收益。另一个就是方差，一个对结果偏离期望值的测量。大概地描述一下这两个特性的话，期望收益测量了平均每局你能赢多少；而方差描述了你的具体收益与期望收益可能会偏离多少。当我们考察方差的时候，我
《The Mathematics of Poker》中文翻译方差第二个估计量，方差，是对分布中输出结果偏离期望值的测量。考虑两个赌局，一个是1赔1的抛硬币游戏，一个是1赔5的掷骰子游戏，只有当扔出6的时候才会有回报。这两个赌局的ev都是0，但掷骰子的赌局明显有更大的方差。1/6的机率你的收益偏离预期5个单位，5/6的机率你的收益偏离预期1个单位。要计算方差，我们首先要将每个结果偏离预期的值进行平方
《The Mathematics of Poker》中文翻译正态分布当我们从一个分布中选取一个随机结果时，它输出的值必定是其隐含的分布中的某一个可取到的结果。我们称这样的一个值为随机变量。假设我们要扔一枚硬币。扔硬币的结果（正或反）就是一个随机变量。现在我们分别用数字1（代表正）和数字0（代表反）标记其输出结果。那么扔硬币的结果要么是1（50%的可能性）要么是0（50%的可能性）。如果我们扔多次硬
《The Mathematics of Poker》中文翻译正态分布是曲线峰值在总体平均值处的铃型曲线，并且当x取值趋向于负无穷或正无穷时曲线渐进趋向于0。曲线与x轴围成的图形的面积（与所有概率分布一样）为1，而取值在[x1,x2]之间的概率就是曲线与x轴、x=x1,x=x2,围城的图形的面积，如下图中的A区域。 用不是那么正式的语句表述的话，中心极限定理告诉了我们，当你有一些总体并且有
《The Mathematics of Poker》中文翻译统计学家绘制出了取值表，也设计了可以提取这些值的电子表格程序。在z=-1与z=1之间的面积大概为0.68；在z=-2与z=2之间的面积大概为0.955；在z=-3与z=3之间的面积大概为0.997。 这些取值意味着一个正态分布的样本取值遵循如下规律： 一个实例或许可以帮助我们理解这些规律。让我们再回到之前讨论的掷骰子游
《The Mathematics of Poker》中文翻译但这些取值只是估计量。200次掷骰子的样本并不是完全正态分布的。我们可以通过一台计算机直接计算得到精确的数值，如下所示：如你所看到的这样，这些取值的差异非常小。造成这些差异的主要原因是直接计算舍弃了一些取不到的值。如200次实验可以取到的输出值有+38和+45，但取不到+39或+42，这是因为单次实验取正收益只可能取+6。但是在正态分布的
《The Mathematics of Poker》中文翻译一个更极端的例子：一个职业牌手曾经告诉过本书的一个作者说他做过一个关于AK与AQ翻牌前全下的记录表格，经过一个月的线上的记录共累积到了2000个样本，两组牌的输赢比例居然接近50对50。 如果假设网站的发牌系统是完全随机的，并且双方在翻牌前不能得到任何附加信息的话，这个事件发生的可能性有多少呢？ 首先我们考虑单次实验的
《The Mathematics of Poker》中文翻译第三章信息战：估计变量与贝叶斯定理在上一章中，我们介绍了一些关于给定条件的概率分布的统计定理，同时也介绍了从中这些分布中提取的样本与正态分布的关系。但是，在上一章中，我们都是简单地默认我们知道所估计的样本背后的隐含分布的变量。在现实世界中，大部分情况下我们并不知道这些。即使是最简单的掷硬币，其结果的“真实”分布也
《The Mathematics of Poker》中文翻译估计变量：经典统计学假设我们有一个限注扑克选手的16900手牌的数据。将其收益结果全部转换成bb数后（其中包含不同级别的数据），他平均每手牌赢率为‾x=1.15bb，标准差为s=2.1bb。我们这里不用μ和ó这样表示总体的符号，而是用代表样本数据的‾x和s。假设他准备继续按照原计划与差不多的对手们一起游戏，那我们对他的“真实”赢率μ可以有
《The Mathematics of Poker》中文翻译既然曲线的峰值是曲线的最高点，并且在μ=‾x处取到峰值，那么这意味着‾x=1.15bb/100手就是分布均值的极大似然估计。这个也许看起来有些显然，但当我们添加了一些其他信息，并且从不同的角度来求这个问题的极大似然估计时，这个值并非总是等于样本均值的。知道单独的赢率很可能给样本提供了样本均值这样一个有用的数据，但它对不确定性却没有很直接的
《The Mathematics of Poker》中文翻译假设我们对所观测的牌手取一个95%的置信水平。那我们就可以给我们的选手找到一个置信区间。如果我们的总体均值是μ，那么从中取出的样本有95%的可能性会落在区间（μ-2ó）到（μ+2ó）之间。因此我们可以找出所有满足让‾x=1.15落在这个区间之内的μ。我们之前已经计算了，16900个样本数量的标准差是1.61bb/100手： 所以
《The Mathematics of Poker》中文翻译贝叶斯定理在第二章中，我们讲过基本的概率论定理： 在这个形式下，这个等式可以帮助我们通过事件A发生的概率与事件B关于A的条件概率来求得事件A与B的联合概率。但是，在扑克中，我们往往更关心的是事件B关于A的条件概率——举个例子，我们知道自己的手牌A，而我们现在想知道这个信息如何影响对手的手牌B。我们想要得到的其实就是事件B关于A的
