《The Mathematics of Poker》中文翻译

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第一章

风险下的决策:概率与期望

概率

扑克中的大部分决定是在结果还不确定的情况下作出的。当荷官刚发完牌时,每一位牌手的手牌都是未知的(直到他们看牌时)。但是我们仍然有一些关于牌手手牌的信息。例如游戏规则限定了一位牌手有可能拿到JT红心,但不可能拿到两张红心A。发出手牌的组合在游戏开始前就已经限定了,并且我们可以从中提取信息。

考虑德州扑克中的一组起手牌。起手牌是一对A的机率有多少呢?也许你已经知道了答案,但考虑一下答案背后的意义。如果我们发十万手牌,你会有几次拿到一对A?如果发一百万次呢?随着发牌次数的越来越多,我们拿到一对A的次数与发牌总数的比率会逐渐趋向于一个确定的数值。我们定义概率就是这个数值。概率是扑克中做决定的关键,因为它给我们提供了评估不确定因素的数学框架。

如果在n此实验中事件x出现的次数为n0,那么我们就如下定义x出现的概率:

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现在假设我们碰巧发现起手牌是一对A的概率为1/221。我们可以通过发一百万手牌来测试这个结果。但,这将是一个漫长且困难的过程,并且我们可以通过组合数学的方法更好地解决这个问题。首先我们只考虑一张牌,即你只有一张手牌。一张牌是A的概率是多少呢?或者更深刻地探讨这个问题,有一张黑桃A的概率是多少呢?

这最后的问题可以很直接地回答。我们做如下假设:

一整套牌中共有52张牌;

每张牌被发到你手中是等可能的。

任何一张特定的牌被发到你手中的概率都是1/52。很显然你手中有黑桃A的概率是1/52,那么你手中有任意一张A的概率是多少呢?这里要注意到你手中有黑桃A、红心A、方片A、梅花A的可能性是相等的。一整套牌中有4张A,每张A都有1/52的概率被发到你手中,将这些概率加总,我们得到:

p(A)=4*(1/52)=1/13

我们可以直接将这些概率相加是因为他们是互斥的,也就是说,你不能同时拿到一张黑桃A和一张红心A。注意1/13恰好就是一套牌中A的数量与一套牌的总张数的比值。这个关系与单独概率的加总一样都是成立的。

注:关于起手牌是一对A的概率到底怎么算,之后的章节马上就会介绍。

独立事件

一些事件不是互斥(互斥可以理解为不可能同时发生)的。举个例子,如下两个事件:

一张牌的花色是红心;

一张牌的大小是A;

如果我们想找出一张牌或者是红心或者是一张A的概率,我们可以先得到一张牌的花色是红心的概率是1/4(一整套52张牌中有13张红心,13/52=1/4)。而在之前我们已经探讨过一张牌是A的概率是1/13。然而,我们不能简单的将这两个概率相加来求这个概率(即一张牌是红心或者是一张A的概率),因为有可能出现一张牌既是红心又是A的情况(红心A)。

事件与事件之间有两种关系。第一种关系是事件与事件之间没有相互作用。举个例子,某天纳斯达克指数的收市价格和摩纳哥某个赌场中的骰子摇出的点数之间是是两个基本上完全不相关的事件;他们中的任何一个不会以任何形式显著的影响另一个。如果两个事件同时发生的概率等于这两个事件单独发生的概率的乘积,那么我们就称这两个事件是独立事件。事件A与事件B同时发生的概率称为A与B的联合概率。

在这个例子中,一张牌既是红心又是A的概率是(1/13)*(1/4)=1/52。这是因为一张牌是红心并不影响这张牌是A的概率(因为每一个花色A出现的概率是相等的)。

两个独立事件不是互斥的除非这两个事件中有一个事件发生的概率为0。在这个例子中,红心牌有13张,A有4张。如果把这些牌加起来,我们就重复数了一张牌(红心A)。因此,一共只有16张牌或者是红心或者是一张A。从这个例子我们可以看出事件A与事件B至少有一个发生的概率是:事件A发生的概率+事件B发生的概率-事件A与B的联合概率。于是找出一张牌或者是红心或者是一张A的概率为1/13+1/4-1/52=4/13。这个概念不管对独立事件还是非独立事件都是成立的。

相关事件

相反的是,一些事件之间有相互作用。举个例子,在一场棒球比赛前,一位非常有天赋的投手有3%的概率在让连续三个对手三振出局,而同时他所在的队伍有60%的可能性获胜。然而,这两个事件同时发生的可能性显然并不是3%*60%。相反,这个概率应该是非常接近3%的,因为当一个投手做到让连续三个对手三振出局时,他所在的队伍几乎一定会获得这场比赛的胜利了。我们称这样的事件是相关的。我们也可以考虑事件A给予事件B的条件概率,也就是在事件A发生的条件下,事件B也同时发生的概率。两个相关事件A与B同时发生的概率是事件A发生的概率乘以B给予A的条件概率。如果事件A与事件B是独立的,那么A给予B的条件概率就等于事件A发生的概率。

接下来我们用具体的等式描述以上概念:

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那么对于两个互斥的事件就有:

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对于两个独立的事件就有:

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对于任意两个事件都有:

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对两个相关事件有:

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现在我们重新回到之前的问题,即起始手牌是一对A的概率到底是多少呢?观察者两个事件:

A:第一张牌是一张A;

B:第二张牌也是一张A。

我们容易知道p(A)=p(B)=1/13。然而这两个事件显然是相关的,因为当你第一张牌拿到的是A时,显然你第二张牌仍然是A的概率减小了。因此我们不能直接讲这两个事件的概率相乘得到他们的联合概率,而需要计算p(B|A)。这并不难计算,在第一张牌是A的情况下,剩下的51张牌中有3张A,于是p(B|A)=3/51=1/17。

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关于概率还有一些简单的性质。首先,任何事件发生的概率都是大于等于0并且小于等于1的。回溯到概率的定义,n次试验中事件发生的次数不会大于n,也不会小于0。一件必然会发生的事件的概率是1,一件永远不会发生的事件的概率是0。概率的补集指的是这个事件没有发生的概率,其计算就是用1减去事件发生的概率。

下面我们用等式来表达以上概念:

P(Ā)=事件A未发生的概率;

C:必然事件;

I:不可能事件。

由此我们可以得到:

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我们可以用以上这些等式解决很多问题。

例如,摇出两个骰子点数都是6的概率是多少呢?记事件A为第一个骰子的点数是6,事件B为第二个骰子的点数是6,又A与B是独立的,而我们所求的概率就是这两个事件同时发生的概率,因此这个概率就是P(A)*P(B)=(1/6)*(1/6)=1/36。

又如,求起手牌是QQ+的概率。之前我们已经知道起手牌是AA的概率是1/221。而显然P(AA)=P(KK)=P(QQ),且这三个事件是互斥的,因此,起手牌是QQ+的概率是P(AA)+P(KK)+P(QQ)=3*(1/221)=3/221。

最后我们来看一个稍有些复杂的问题。

在你起手牌是同花牌的情况下,翻牌撞到天同花的概率是多少呢?

我们手中有两张同花牌,那牌套中还剩下11张与我们同花色的牌。记事件A为第一张翻牌是同花牌,事件B为第二张翻牌是同花牌,事件C是第三张翻牌是同花牌。

我们很容易得到:

P(A)=11/50,P(B|A)=10/49。

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在本章之后的环节我们仍然会用以上等式解决概率问题。

概率分布

尽管单个事件的概率是很重要的,但经常会碰到一些不能用单个事件全面分析某个局面的状况。相反,同时分析多个事件发生的概率往往是更重要的。我们定义一个事件可能的结果与概率为一个事件的概率分布。

考虑一枚普通的硬币。掷硬币会有正、反两个结果,每种结果各有一半的可能性发生。我们可以就此列出一个掷硬币结果的概率分布。有两种组合(正,1/2)、(反,1/2)。

如果记C为其概率分布,那么我们就有:

C={(正,1/2)、(反,1/2)};

类似地,我们可以写出掷一枚骰子的点数的概率分布:

D={(1,1/6)、(2,1/6)、(3,1/6)、(4,1/6)、(5,1/6)、(6,1/6)};

对同一个事件我们可以用不同的表达方式来表达其概率分布,以掷骰子的例子来说,我们之前研究的是其点数的具体数值,而如果研究其点数的奇偶性的话,就有:

C’={(奇,1/2)、(偶,1/2)};

对任何事件我们都可以通过将其所有的结果和其相应的发生的概率列出来表达其概率分布。

在扑克中,我们几乎总是非常在意对手的手牌到底是什么。但只有很少数的情况下我们可以把对手手牌的范围缩小到一个组合。相反,我们经常用概率分布来表现对手手牌的范围,即他可能拥有的手牌和其相对应的概率。在每一局牌的开端,即每一位牌手看牌前,他们手牌的概率分布都是相等的。但在牌局进行的过程中,我们可以通过收集各种信息(诸如对手加注还是跟注、公告牌的情况、我们自己手牌的情况)来重新定义对手手牌的概率分布。

有时候我们还可以给概率分布中的每一个元素赋一个特定的数值。

举个例子,你的一个朋友准备和你玩抛硬币。如果硬币是正面,他给你10美元;如果是反面,你要给他10美元。我们之前已经提到过抛硬币的概率分布为:

C={(正,1/2)、(反,1/2)};

根据例子里的条件,这个概率分布可以改写为:

C’={(赢,1/2)、(输,1/2)};

更具体一些,把输赢的结果也算进去的话,其概率分布应该为:

B={(+10$,1/2)、(-10$,1/2)};

当一个概率分布的每一个可能出现的结果都对应一个数值型的收益时,我们可以求出这个概率分布的期望收益(EV),也就是将每一个收益分别乘以它们出现的概率,并将其加总。在这本书中,我们用<X>表示X的EV。举个例子:

<B>=(1/2)*(+$10)+(1/2)*(-$10)=$5+(-$5)=0;

于是这里有一些比较显然的性质:当你与对手抛硬币的次数达到一定大的量时,你基本上会赢一半,输一半,也就是从长期来说你们获胜的次数将持平。同时,由于EV也是0,因此长期来看你们两个的财富也不会发生任何变化。

对于一个概率分布P,如果它有n中不同的结果,并且每一种结果对应一个收益xi与概率pi,那么概率分布p的期望收益就是:

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而战胜扑克或者大部分赌博游戏的关键就是将EV最大化。在这个例子中,你的朋友给你提供了一个公平的赌局。长期来说,你与他抛硬币是不输不赢的,所以你与他抛不抛都行。

现在假设你的朋友给你提供了一个不同的、更棒的赌局。他再次与你抛硬币,并且如果硬币是正面,那么他将支付给你11美元;如果是反面,你仍然只需要支付给他10美元。那么现在你的期望收益是:

Bn=<Bn>=(1/2)*(+$11)+(1/2)*(-$10)=$5.5+(-$5)=$0.5

因此,从长期来说,你平均每局可以赚50美分。当然,这不意味着你每局都能赢这个数,而是说当你玩这个赌局到一定数量时,你的每局平均收益将达到50美分。于是,参与这个赌局就比你不参与赌局多了50美分的期望收益。

再举另外一个例子,你和你的朋友又准备玩另一个赌局。这次你掷两个骰子,如果转到两个6,他支付给你30美元;如果转出其他任意组合,你都要支付给他1美元。而转出两个6的概率是(1/6)*(1*6)=1/36,那么这边的EV则是:

Bd=<Bd>=(1/36)*(+$30)+(35/36)*(-$1)=$30/36+(-$35/36)=-$5/36,大约是-14美分。

也就是说,这个赌局对你的EV是-14美分。而不玩这个赌局的EV是0,因此这对你来说是一个不好的赌局,你不应该与你的朋友打赌。告诉你的朋友继续玩那个11-10的抛硬币游戏。

注意一点,世界上所有赌场提供的大部分游戏都是负EV的(例如掷骰子这个游戏)。

一个关于EV的非常重要的性质是其可加性。也就说,连续几个赌局的总EV就是这几个赌局独立EV的加总。大多数的赌博游戏,或者说人生中的大部分事情都满足这个性质。我们的人生中其实就是由无数个类似抛硬币或者掷骰子的事件组成的,有的是正EV的,有的是负EV的,只不过现实中是一些类似政治选票或基金投资之类的事情。在扑克中,一位优秀的牌手在每一局中如果能累积足够多的+EV,那么长期来看,这些+EV最终就可以转化为客观的收入。

在用概率分布来研究扑克时,我们往往会忽略每一手牌的具体概率。而当我们这样做时,这意味着起手牌之间的相关概率在发牌时就已经确定了。假设我们发现一位非常紧的选手对我们做了加注,并且凭着经验告诉我们他做出这种行动的手牌范围是QQ+以及AK,那我们就可以如下表示他的手牌分布:

H={AA,KK,QQ,AKs,AKo};

这里忽略的关联概率指的是这些手牌之间的关联概率是一直不变的。假设我们在讨论一个扑克牌局,牌手A和B分别有如下手牌分布:

A={AA,KK,QQ,JJ,AKs,AKo};

B={AA,KK,QQ};

我们有如下定义:

<A,B>:A的手牌范围面对B的手牌范围的EV;

<A,AA|B>:A的手牌范围面对B排除了AA的手牌范围的EV;

<AA|A,AA|B>:A排除AA的手牌范围面对B排除AA的手牌范围的EV;

于是<A,B>=p(AA)<A,AA|B>+p(KK)<A,KK|B>+p(QQ)<A,QQ|B>。

另外,我们可以对概率分布的元素运行几个基本的算法。举个例子,如果我们把每个概率分布结果对应的收益乘以一个相同的常数,那么这个概率分布的EV就变换为原EV乘以这个常数。同样的,如果我们把每个概率分布结果对应的收益加上一个相同的常数,那么这个概率分布的EV就变换为原EV加上这个常数。

我们同样应该对赔率的表达方式做一个统一。赔率的定义是一个事件发生的概率与不发生的概率的比值。例如7-5、3-2,其中较小的赔率意味着这个事件更可能发生,较大的赔率意味着这个事件更不可能发生。而两手牌之间如果说“这手牌面对另一手牌有7:3的优势”,意味着第一手牌友70%的胜率。

赔率在用于概率的数学计算时比较尴尬,因为不能简单的将他们乘以收益来得到EV。但真正的“赌徒”经常使用赔率,因为这能帮助他们快速得到他们每一次下注的最大回报。概率是一个更数学上的概念。擅长数学的赌徒既会使用概率,也会使用赔率,但为了计算EV,他们更多使用概率。


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有来有去

不错,作为经典书籍值得一读 我这边有个老陈翻译的版本可以对照看 http://www.zhiyoucheng.co/forum.php?mod=viewthread&tid=8786&page=1&authorid=3447

#1
2016-08-01 21:36
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有来有去

是老邓,手快了

#2
2016-08-01 21:37
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Lore  回复 有来有去

嗯,之前也看了这个老师翻译的,可惜第一章没翻完就断更了。。。

#3
2016-08-01 21:47
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有来有去

是呀,我的word电子版也是他给我的

#4
2016-08-01 21:48
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EVHunter

这本书不好翻译,枯燥、繁琐。辛苦了

#5
2016-08-02 15:40
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洪荒之力u13433

请问楼主这书翻译完了吗

#6
2024-01-27 13:56
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